Paderborner Mathezirkel: Fixpunktiteration und Fixpunktsatz

Paderborner Mathezirkel: Fixpunktiteration und Fixpunktsatz

Digitales Angebot,

Einen Punkt x, in dem f(x) = x für eine Funktion f gilt, nennt man einen Fixpunkt der Funktion f (weil x von f auf sich selbst abgebildet wird, also „fix“ bleibt). Z.B. hat f(x) = x^3 zwei Fixpunkte, nämlich x = 1 und x = -1. Fixpunktgleichungen f(x) = x spielen an vielen Stellen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Z.B. hilft es manchmal, ein Nullstellenproblem f(x) = 0 in eine Fixpunktgleichung g(x) = x mit einer geeigneten Funktion g (die von f abhängt) umzuwandeln. Dieses ist natürlich nur dann von praktischem Interesse, wenn sich die Nullstelle bzw. der Fixpunkt nicht einfach berechnen lässt. – Bei dem numerischen Verfahren der Fixpunktiteration zur Bestimmung eines Fixpunkts z einer Funktion f werden ausgehend von einem Startwert x_0 mit x_{n+1} = f(x_n), n = 0,1,2,…, nacheinander neue x-Werte berechnet. Es ist zunächst sehr überraschend, dass die Fixpunktiteration x_{n+1} = f(x_n), n = 0,1,2,…, unter geeigneten Voraussetzungen an f und für einen hinreichend guten Startwert x_0 mit wachsendem n durch x_{n+1} = f(x_n) immer bessere Näherungswerte für den Fixpunkt z liefert! Unter welchen Voraussetzungen das passiert, erklärt der Fixpunktsatz, der auch bewiesen wird. Wir wenden die Fixpunktiteration für verschiedene Beispiele an und untersuchen diese sowohl experimentell (Anwenden des Verfahrens) als aus theoretisch. – Die Programmierung der Fixpunktiteration erfolgt mit Excel-Tabellenkalkulation, d.h. du solltest Excel bzw. ein vergleichbares Programm zur Verfügung haben.

Veranstaltungsort

Digitales Angebot

Datum

17.06.2023

Uhrzeit

10:00 bis 13:00 Uhr

Zusätzliche Termine

um 10:00 Uhr

Eintrittspreis

Altersempfehlung

ab 0 Jahre

Mehr Informationen

math.uni-paderborn.de

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